Question

令 $x$ 为大于 $1$ 的最小实数，使得 $\sin(x) = \sin(x^2)$ ，其中角度单位为度。将 $x$ 向上取整到最接近的整数是多少？

Let $x$ be the least real number greater than $1$ such that $\sin(x) = \sin(x^2),$ where the arguments are in degrees. What is $x$ rounded up to the closest integer?

$10$

$13$

$14$

$19$

$20$

答案：B

知识点：三角学二次方程

难度评级：2040

小提示：

$\sin x = \sin x^2$ 要求 $x^2 = x + 360k$ 或 $x^2 = 180 - x + 360k$ ，其中 $k$ 为整数

$\sin x = \sin x^2$ requires $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for an integer $k$

大提示：

最小的 $x \gt 1$ 来自 $x^2 = 180 - x$ （其中 $k = 0$ ）

The smallest $x \gt 1$ comes from $x^2 = 180 - x$ (with $k = 0$ )

解答：

正弦值相等要求对某个整数 $k$ 有 $x^2 = x + 360k$ 或 $x^2 = 180 - x + 360k$ 。

方程族 $x^2 = x + 360k$ 第一次超过 $1$ 出现在 $k = 1$ ，给出 $x \approx 19.5$ 。方程族 $x^2 = 180 - x + 360k$ 在 $k = 0$ 时给出 $x^2 + x - 180 = 0$ ，所以 $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93$ ，这更小。

向上取整后， $x = 13$ 。

所以正确答案是 B。

Equal sines require $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for some integer $k.$

The family $x^2 = x + 360k$ first exceeds $1$ at $k = 1,$ giving $x \approx 19.5.$ The family $x^2 = 180 - x + 360k$ with $k = 0$ gives $x^2 + x - 180 = 0,$ so $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ which is smaller.

Rounded up, $x = 13.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall 第 19 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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