Question

在 $xy$ -坐标系中，格点是指 $(x, y)$ 中 $x$ 与 $y$ 都为整数的点。对所有满足 $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a$ 的 $m$ ，直线 $y=mx+2$ 都不经过任何满足 $0 \lt x \le 100$ 的格点。 $a$ 的最大可能值是多少？

A lattice point in an $xy$ -coordinate system is any point $(x, y)$ where both $x$ and $y$ are integers. The graph of $y=mx+2$ passes through no lattice point with $0 \lt x \le 100$ for all $m$ such that $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ What is the maximum possible value of $a?$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{51}{100}$

$\dfrac{52}{101}$

$\dfrac{13}{25}$

答案：B

知识点：格点斜率

难度评级：2090

小提示：

对每个 $x$ ，找出从 $(0,2)$ 出发、斜率 $\gt\dfrac12$ 且能到达该 $x$ 处格点的最小斜率。

For each $x,$ find the smallest slope $\gt\dfrac12$ from $(0,2)$ that reaches a lattice point at that $x$

大提示：

分别比较偶数 $x$ 与奇数 $x$ 对应的最小斜率；较小者给出限制

Compare the minimum slopes for even $x$ and odd $x;$ the tighter bound wins

解答：

对 $0\lt x\le100$ ，在直线 $y=\tfrac12x+2$ 上方最近的格点为：当 $x$ 为偶数时是 $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ ；当 $x$ 为奇数时是 $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ 。

从 $(0,2)$ 到该点的斜率，偶数 $x$ 时为 $\dfrac12+\dfrac1x$ ，奇数 $x$ 时为 $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ 。这些斜率的最小值在偶数 $x$ 时为 $\dfrac{51}{100}$ ，在奇数 $x$ 时为 $\dfrac{50}{99}$ 。

因为 $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100}$ ，直线恰在 $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}$ 时避开所有这些格点，所以最大值为 $a=\dfrac{50}{99}$ 。

所以正确答案是 B。

For $0\lt x\le100,$ the nearest lattice point above the line $y=\tfrac12x+2$ is $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ if $x$ is even and $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ if $x$ is odd.

The slope from $(0,2)$ to that point is $\dfrac12+\dfrac1x$ for even $x$ and $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ for odd $x.$ The minimum such slope is $\dfrac{51}{100}$ for even $x$ and $\dfrac{50}{99}$ for odd $x.$

Since $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},$ the line avoids all these lattice points exactly when $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},$ so the maximum is $a=\dfrac{50}{99}.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 19 题

答案：B

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题