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2011 AMC 12B 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

三角形 ABCABC 中，AB=13AB=13，BC=14BC=14，AC=15AC=15。点 DD、EE、FF 分别是 ABAB、BCBC、ACAC 的中点。设 X≠EX\ne E 是 △BDE\triangle BDE 与 △CEF\triangle CEF 的外接圆的另一个交点。XA+XB+XCXA+XB+XC 等于多少？

Triangle ABCABC has AB=13,AB=13, BC=14,BC=14, and AC=15.AC=15. The points D,D, E,E, and FF are the midpoints of AB,AB, BC,BC, and ACAC respectively. Let X≠EX\ne E be the intersection of the circumcircles of △BDE\triangle BDE and △CEF.\triangle CEF. What is XA+XB+XC?XA+XB+XC?

2424

14314\sqrt{3}

1958\dfrac{195}{8}

129714\dfrac{129\sqrt{7}}{14}

6924\dfrac{69\sqrt{2}}{4}

答案：C
知识点：外接圆、外心与外接圆半径圆周角海伦公式
难度评级：2220
小提示：

利用中位线平行和圆周角定理，证明 XX 到 AA、BB、CC 距离相等。

Use the parallel midsegments and the Inscribed Angle Theorem to show XX is equidistant from A,A, B,B, CC

大提示：

XX 是外心，所以 XA+XB+XC=3RXA+XB+XC=3R，其中 R=abc4⋅[ABC]R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}。

XX is the circumcenter, so XA+XB+XC=3RXA+XB+XC=3R where R=abc4⋅[ABC]R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}

解答：

因为 DE∥ACDE\parallel AC 且 EF∥ABEF\parallel AB，所以 ∠BDE=∠BAC=∠EFC\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC。由圆周角定理，∠BXE=∠BDE\angle BXE=\angle BDE 且 ∠EXC=∠EFC\angle EXC=\angle EFC，从而 ∠BXE=∠EXC\angle BXE=\angle EXC。再由 BE=ECBE=EC，可得 XB=XCXB=XC。

此外，∠BXC=2∠BAC\angle BXC=2\angle BAC。在 △BXC\triangle BXC 中使用弦长公式，得到 BC=2XBsin⁡(∠BAC)BC=2XB\sin(\angle BAC)，在 △ABC\triangle ABC 中使用同一公式，得到 BC=2Rsin⁡(∠BAC)BC=2R\sin(\angle BAC)。因此 XB=XC=RXB=XC=R。在 BCBC 的这一侧，到 BB 和 CC 的距离都等于 RR 的点就是 △ABC\triangle ABC 的外心，所以 XA=XB=XC=RXA=XB=XC=R。

由海伦公式，1313-1414-1515 三角形的面积是 8484，所以 R=13⋅14⋅154⋅84=658， R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8}\text{，}并且 XA+XB+XC=3R=1958XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}。

因此，正确答案是 C。

Since DE∥ACDE\parallel AC and EF∥AB,EF\parallel AB, we get ∠BDE=∠BAC=∠EFC.\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC. By the Inscribed Angle Theorem, ∠BXE=∠BDE\angle BXE=\angle BDE and ∠EXC=∠EFC,\angle EXC=\angle EFC, so ∠BXE=∠EXC.\angle BXE=\angle EXC. With BE=EC,BE=EC, this forces XB=XC.XB=XC.

Also ∠BXC=2∠BAC.\angle BXC=2\angle BAC. The chord formula in △BXC\triangle BXC gives BC=2XBsin⁡(∠BAC),BC=2XB\sin(\angle BAC), while the same formula in △ABC\triangle ABC gives BC=2Rsin⁡(∠BAC).BC=2R\sin(\angle BAC). Thus XB=XC=R.XB=XC=R. The point at distance RR from both BB and CC on this side of BCBC is the circumcenter of △ABC,\triangle ABC, so XA=XB=XC=R.XA=XB=XC=R.

The area of the 1313-1414-1515 triangle is 8484 by Heron’s formula, so R=13⋅14⋅154⋅84=658, R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8}, and XA+XB+XC=3R=1958.XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.

Thus, the correct answer is C.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

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