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2000 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

若正数 xx、yy 和 zz 满足 x+1y=4，x + \frac{1}{y} = 4\text{，} y+1z=1，y + \frac{1}{z} = 1\text{，} 以及 z+1x=73，z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}\text{，} 则 xyzxyz 等于多少？

If x,x, y,y, and zz are positive numbers satisfying x+1y=4,x + \frac{1}{y} = 4, y+1z=1,y + \frac{1}{z} = 1, and z+1x=73,z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}, then what is xyz?xyz?

23\dfrac{2}{3}

11

43\dfrac{4}{3}

22

73\dfrac{7}{3}

答案：B
知识点：方程组代数变形对称性（代数）
难度评级：1970
小提示：

将三个方程相加，并另外将三个方程相乘。

Add the three equations, and separately multiply all three together

大提示：

展开乘积会得到 xyz+1xyzxyz + \dfrac{1}{xyz}，再加上你已经算出的和。

Expanding the product produces xyz+1xyzxyz + \dfrac{1}{xyz} plus the sum you already computed

解答：

三个方程相加得 (x+1y)+(y+1z)+(z+1x)=4+1+73=223。 \begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}\text{。} \end{gathered}

三个方程相乘得 4⋅1⋅73=283。 4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}\text{。}

展开乘积，得到 (x+1y)⋅(y+1z)⋅(z+1x)=xyz+(x+y+z+1x+1y+1z)+1xyz。 \begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}\text{。} \end{aligned} 中间括号中的一组之和就是 223\tfrac{22}{3}，所以 xyz+1xyz=283−223=2xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2。

因此 (xyz−1)2=0(xyz - 1)^2 = 0，所以 xyz=1xyz = 1。

因此，正确答案是 B。

Adding the three equations gives (x+1y)+(y+1z)+(z+1x)=4+1+73=223. \begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}

Multiplying them gives 4⋅1⋅73=283. 4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.

Expanding the product, (x+1y)⋅(y+1z)⋅(z+1x)=xyz+(x+y+z+1x+1y+1z)+1xyz. \begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned} The middle group is the sum 223,\tfrac{22}{3}, so xyz+1xyz=283−223=2.xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.

Hence (xyz−1)2=0,(xyz - 1)^2 = 0, so xyz=1.xyz = 1.

Thus, the correct answer is B.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

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