Question

等腰梯形 $ABCD$ 的平行边为 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BC}$ ，且 $BC\lt AD$ 、 $AB=CD$ 。平面上有一点 $P$ ，满足 $PA=1$ 、 $PB=2$ 、 $PC=3$ ，且 $PD=4$ 。求 $\dfrac{BC}{AD}$ ？

Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC\lt AD$ and $AB=CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1,$ $PB=2,$ $PC=3,$ and $PD=4.$ What is $\dfrac{BC}{AD}?$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

答案：B

知识点：坐标几何梯形对称性

难度评级：2110

小提示：

令 $A=(-p,0)$ ， $D=(p,0)$ ， $B=(-q,h)$ ， $C=(q,h)$ ，使梯形关于 $y$ 轴对称

Put $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ symmetric about the $y$ -axis

大提示：

$PA^2-PD^2$ 和 $PB^2-PC^2$ 都等于 $P$ 的 $x$ 坐标的一个倍数

Both $PA^2-PD^2$ and $PB^2-PC^2$ equal a multiple of the $x$ -coordinate of $P$

解答：

将梯形放成关于 $y$ 轴对称： $A=(-p,0)$ ， $D=(p,0)$ ， $B=(-q,h)$ ， $C=(q,h)$ ，并设 $P=(x,y)$ 。

则 $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ 而 $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5$ 。两式相除得 $\dfrac{p}{q}=3$ 。

因为 $AD=2p$ 且 $BC=2q$ ，所以 $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13$ 。

因此，正确答案是 B。

Place the trapezoid symmetric about the $y$ -axis: $A=(-p,0),$ $D=(p,0),$ $B=(-q,h),$ $C=(q,h),$ with $P=(x,y).$

Then $PA^2-PD^2=4px$ $=1-16=-15$ and $PB^2-PC^2=4qx$ $=4-9=-5.$ Dividing gives $\dfrac{p}{q}=3.$

Since $AD=2p$ and $BC=2q,$ we get $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A 第 20 题

答案：B

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题