Question

一个梯形的边长为 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 和 $11$ 。所有可能面积之和可以写成 $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3$ ，其中 $r_1$ 、 $r_2$ 、 $r_3$ 是有理数，且 $n_1$ 和 $n_2$ 是不被任何质数的平方整除的正整数。不超过下式的最大整数是多少？ $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2\text{？}$

A trapezoid has side lengths $3,$ $5,$ $7,$ and $11.$ The sum of all the possible areas of the trapezoid can be written in the form of $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ where $r_1,$ $r_2,$ and $r_3$ are rational numbers and $n_1$ and $n_2$ are positive integers not divisible by the square of a prime. What is the greatest integer less than or equal to $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2?$

$57$

$59$

$61$

$63$

$65$

答案：D

知识点：梯形海伦公式分类讨论

难度评级：2150

小提示：

平移一条腰：若梯形平行边为 $a\lt c$ ，两腰为 $b,d$ 则会得到边长为 $b,d,c-a$ 的三角形

Slide one parallel side over: a trapezoid with parallel sides $a\lt c$ and legs $b,d$ gives a triangle with sides $b,d,c-a$

大提示：

三角形不等式迫使较长的平行边为 $11$ ；在 $a=3,5,7$ 的情况中使用海伦公式

The triangle inequality forces the longer parallel side to be $11;$ apply Heron’s formula in the cases $a=3,5,7$

解答：

对于平行边为 $a\lt c$ 、两腰为 $b,d$ 的梯形，平移一条腰会形成边长为 $b$ ， $d$ ，和 $c-a$ 的三角形。三角形不等式迫使较长的平行边为 $c=11$ 。

若 $a=3$ ，三角形边长为 $5,7,8$ ，面积为 $10\sqrt3$ ，梯形面积为 $\tfrac{35}{2}\sqrt3$ 。若 $a=5$ ，三角形边长为 $3,6,7$ ，面积为 $4\sqrt5$ ，梯形面积为 $\tfrac{32}{3}\sqrt5$ 。若 $a=7$ ，三角形边长为 $3,4,5$ ，是直角三角形，梯形面积为 $27$ 。

总和为 $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27$ ，所以 $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16 \end{gathered}\text{。}$

小于或等于这个值的最大整数是 $63$ 。

因此正确答案是 D。

For a trapezoid with parallel sides $a\lt c$ and legs $b,d,$ translating a leg forms a triangle with sides $b,$ $d,$ and $c-a.$ The triangle inequality forces the longer parallel side to be $c=11.$

If $a=3,$ the triangle has sides $5,7,8$ with area $10\sqrt3,$ and the trapezoid has area $\tfrac{35}{2}\sqrt3.$ If $a=5,$ the triangle has sides $3,6,7$ with area $4\sqrt5,$ giving trapezoid area $\tfrac{32}{3}\sqrt5.$ If $a=7,$ the triangle has sides $3,4,5,$ a right triangle, giving trapezoid area $27.$

The total is $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,$ so $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}$

The greatest integer at most this value is $63.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题