1953 AMC 12 第 20 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1953 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

若 $y=x+\dfrac1x$ ，则 $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ 可化为：

If $y=x+\dfrac1x,$ then $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ becomes:

$x^2(y^2+y-2)=0$

$x^2(y^2+y-3)=0$

$x^2(y^2+y-4)=0$

$x^2(y^2+y-6)=0$

以上答案均不正确

none of these

答案：D

知识点：换元法 reciprocal polynomial algebraic identity

难度评级：1740

小提示：

提取 $x^2$ ，并把互为倒数的幂次项组合起来

Factor out $x^2$ and group reciprocal terms

大提示：

使用 $x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2$

Use $x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2$

解答：

因为 $x\ne0$ ，可将表达式写成 $\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg] \end{aligned}\text{。}$ 由于 $x^2+x^{-2}=y^2-2$ ，可化为 $x^2(y^2+y-6)=0\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Because $x\ne0,$ factor the expression as $\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}$ Since $x^2+x^{-2}=y^2-2,$ this becomes $x^2(y^2+y-6)=0.$

Thus, the correct answer is D.

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