Question

图中， $ABCD$ 是一个四边形， $A$ 和 $C$ 均为直角。点 $E$ 和 $F$ 位于 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BF}$ 都垂直于 $\overline{AC}$ 。若 $AE=3$ 、 $DE=5$ 、 $CE=7$ ，则 $BF=$

In the figure, $ABCD$ is a quadrilateral with right angles at $A$ and $C.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{AC},$ and $\overline{DE}$ and $\overline{BF}$ are perpendicular to $\overline{AC}.$ If $AE=3,$ $DE=5,$ and $CE=7,$ then $BF=$

$3.6$

$4$

$4.2$

$4.5$

$5$

答案：C

知识点：坐标几何 perpendicular lines 方程组

难度评级：1910

小提示：

将 $\overline{AC}$ 放在 $x$ 轴上，并令 $A=(0,0)$

Place $\overline{AC}$ on the $x$ -axis with $A=(0,0)$

大提示：

利用点积表示 $A$ 和 $C$ 处的直角条件

Use dot products for the right angles at $A$ and $C$

解答：

令 $A=(0,0)$ 、 $E=(3,0)$ 、 $C=(10,0)$ 、 $D=(3,-5)$ 、 $B=(f,h)$ ，其中 $h=BF$ 。因为 $AB\perp AD$ ， $(f,h)\cdot(3,-5)=0\text{，}$ 所以 $3f=5h$ 。因为 $BC\perp DC$ ， $(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0\text{，}$ 所以 $7f+5h=70$ 。代入可得 $f=7$ 和 $h=\frac{21}{5}=4.2$ 。

所以正确答案是 C。

Set $A=(0,0),$ $E=(3,0),$ $C=(10,0),$ $D=(3,-5),$ and $B=(f,h),$ where $h=BF.$ Since $AB\perp AD,$ $(f,h)\cdot(3,-5)=0,$ so $3f=5h.$ Since $BC\perp DC,$ $(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0,$ so $7f+5h=70.$ Substitution gives $f=7$ and $h=\frac{21}{5}=4.2.$

Thus the correct answer is C.

1990 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题