Question

实数 $x$ 和 $y$ 独立地从区间 $(0, 1)$ 中均匀随机选取。若 $\lfloor r \rfloor$ 表示小于或等于实数 $r$ 的最大整数，那么 $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor$ 的概率是多少？

Real numbers $x$ and $y$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $(0, 1).$ What is the probability that $\lfloor \log_2 x \rfloor = \lfloor \log_2 y \rfloor,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：D

知识点：几何概率取整函数等比数列

难度评级：1990

小提示：

$\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ 当且仅当 $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}$ 。

$\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactly when $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}$

大提示：

对每个 $n$ ， $x$ 和 $y$ 都必须落在这个长度为 $\dfrac{1}{2^n}$ 的区间内；把对应面积相加。

For each $n,$ both $x$ and $y$ must land in that interval of length $\dfrac{1}{2^n};$ sum the resulting areas

解答：

对每个正整数 $n$ ， $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ 当且仅当 $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}}$ ，这是长度为 $\dfrac{1}{2^n}$ 的区间。两个取整值都等于 $-n$ 的事件是面积为 $\dfrac{1}{4^n}$ 的正方形。对所有 $n$ 求和，概率为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}\text{。}$

所以正确答案是 D。

For each positive integer $n,$ $\lfloor \log_2 x \rfloor = -n$ exactly when $\dfrac{1}{2^n} \le x \lt \dfrac{1}{2^{n-1}},$ an interval of length $\dfrac{1}{2^n}.$ The event that both floors equal $-n$ is a square of area $\dfrac{1}{4^n}.$ Summing over all $n,$ the probability is $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 20 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题