Question

下图所示五面体的底面是一个 $13 \times 8$ 的矩形，它的侧面包括两个底边长为 $8$ 、两腰长为 $13$ 的等腰三角形，以及两个底边长分别为 $7$ 和 $13$ 、非平行边长为 $13$ 的等腰梯形。

这个五面体的体积是多少？

The base of the pentahedron shown below is a $13 \times 8$ rectangle, and its lateral faces are two isosceles triangles with base of length $8$ and congruent sides of length $13,$ and two isosceles trapezoids with bases of lengths $7$ and $13$ and nonparallel sides of length $13.$

What is the volume of the pentahedron?

$416$

$520$

$528$

$676$

$832$

答案：C

知识点：立体几何体积多面体

难度评级：2110

小提示：

将长为 $7$ 的棱放在高度 $h$ 处；斜边给出 $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13$ ，所以 $h = 12$ 。

Place the ridge of length $7$ at height $h$ ; a slant edge gives $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,$ so $h = 12$

大提示：

高度 $z$ 处的截面是一个 $\left(13 - \tfrac{z}{2}\right) \times \left(8 - \tfrac{2z}{3}\right)$ 的矩形

The cross-section at height $z$ is a $\left(13 - \tfrac{z}{2}\right) \times \left(8 - \tfrac{2z}{3}\right)$ rectangle

解答：

顶部是一条长为 $7$ 的棱，居中位于底面上方某个高度 $h$ 。它的两个端点分别在 $13 \times 8$ 底面的 $(3, 4)$ 和 $(10, 4)$ 上方。从端点到一个底面顶点的斜边长为 $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13$ ，所以 $h = 12$ 。

在高度 $z$ 处，水平截面是一个矩形，尺寸为 $\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)$ 乘 $\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right)$ 。当 $z = 0$ 时面积为 $104$ ；当 $z = 6$ 时面积为 $10 \cdot 4 = 40$ ；当 $z = 12$ 时顶棱面积为 $0$ 。

由棱台公式， $\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The top is a ridge of length $7,$ centered above the base at some height $h.$ Its endpoints sit above $(3, 4)$ and $(10, 4)$ of the $13 \times 8$ base. A slant edge to a base corner has length $\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,$ so $h = 12.$

At height $z,$ the horizontal cross-section is a rectangle measuring $\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)$ by $\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right).$ At $z = 0$ its area is $104$ ; at $z = 6$ it is $10 \cdot 4 = 40$ ; at $z = 12$ the ridge has area $0.$

By the prismatoid formula, $\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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