Question

在 $\triangle BAC$ 中， $\angle BAC=40^\circ$ ， $AB=10$ ， $AC=6$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上。 $BE+DE+CD$ 的最小可能值是多少？

In $\triangle BAC,$ $\angle BAC=40^\circ,$ $AB=10,$ and $AC=6.$ Points $D$ and $E$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively. What is the minimum possible value of $BE+DE+CD?$

$6\sqrt3+3$

$\dfrac{27}{2}$

$8\sqrt3$

$14$

$3\sqrt3+9$

答案：D

知识点：反射（几何）余弦定理最优化

难度评级：2110

小提示：

将 $B$ 关于直线 $AC$ 反射到 $B'$ ，将 $C$ 关于直线 $AB$ 反射到 $C'$

Reflect $B$ over line $AC$ to $B'$ and $C$ over line $AB$ to $C'$

大提示：

路径变为 $B'E+ED+DC'$ ，直线段 $B'C'$ 最短；再用 $\angle B'AC'=120^\circ$ 和余弦定理。

The path becomes $B'E+ED+DC'$ , minimized as the straight segment $B'C'$ ; use the Law of Cosines with $\angle B'AC'=120^\circ$

解答：

将 $B$ 关于直线 $AC$ 反射到 $B'$ ，将 $C$ 关于直线 $AB$ 反射到 $C'$ 。于是 $BE=B'E$ 、 $CD=C'D$ ，从而 $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC'$ ，这是从 $B'$ 到 $C'$ 的一条折线路径。

当这条路径成为直线段 $B'C'$ 时长度最小。此时 $AB'=AB=10$ 、 $AC'=AC=6$ ，并且 $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ$ 。

由余弦定理， $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196\text{，} \end{gathered}$ 所以 $B'C'=14$ 。

所以正确答案是 D。

Reflect $B$ across line $AC$ to get $B',$ and reflect $C$ across line $AB$ to get $C'.$ Then $BE=B'E$ and $CD=C'D,$ so $BE+DE+CD$ $=B'E+ED+DC',$ a broken path from $B'$ to $C'.$

This is minimized when the path is the straight segment $B'C'.$ We have $AB'=AB=10,$ $AC'=AC=6,$ and $\angle B'AC'=3\cdot40^\circ=120^\circ.$

By the Law of Cosines, $\begin{gathered} B'C'^2=10^2+6^2\\ {}-2\cdot10\cdot6\cos120^\circ\\ =136+60\\ =196, \end{gathered}$ so $B'C'=14.$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12A 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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