Question

由 $5$ 个 A、 $5$ 个 B、 $5$ 个 C 组成的 $15$ 个字母排列中，前 $5$ 个字母没有 A，中间 $5$ 个字母没有 B，最后 $5$ 个字母没有 C 的排列有多少个？

How many $15$ -letter arrangements of $5$ A’s, $5$ B’s, and $5$ C’s have no A’s in the first $5$ letters, no B’s in the next $5$ letters, and no C’s in the last $5$ letters?

$\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3$

$3^5 \cdot 2^5$

$2^{15}$

$\dfrac{15!}{(5!)^3}$

$3^{15}$

答案：A

知识点：多重集排列组合分类讨论

难度评级：1910

小提示：

在第一段（没有 A）中，设有 $k$ 个 B 和 $5-k$ 个 C。

In the first block (no A’s), suppose there are $k$ B’s and $5-k$ C’s

大提示：

固定 $k$ 后，三段中的字母数都被确定，每段的位置选择数都是 $\binom{5}{k}$ 。

Fixing $k$ determines the letter counts in all three blocks, each chosen with $\binom{5}{k}$ placements

解答：

设第一段有 $k$ 个 B 和 $5-k$ 个 C。剩下的 $k$ 个 C 必须放在第二段（因为第三段没有 C），于是第二段有 $5-k$ 个 A。

那么第三段含有剩下的 $k$ 个 A 和 $5-k$ 个 B。

对每个 $k$ ，第一段中的 $k$ 个 B、第二段中的 $k$ 个 C、第三段中的 $k$ 个 A 的位置共有 $\binom{5}{k}^3$ 种选法，所以总数为 $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3$ 。

所以正确答案是 A。

Suppose the first block holds $k$ B’s and $5-k$ C’s. The remaining $k$ C’s must go in the second block (since the third has no C’s), forcing $5-k$ A’s there.

Then the third block contains the remaining $k$ A’s and $5-k$ B’s.

For each $k,$ the $k$ B’s in the first block, $k$ C’s in the second, and $k$ A’s in the third can be placed in $\binom{5}{k}^3$ ways, so the total is $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^3.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 12A 第 20 题

答案：A

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题