Question

点 $A = (3, 9)$ ， $B = (1, 1)$ ， $C = (5, 3)$ ，和 $D = (a, b)$ 位于第一象限，并且是四边形 $ABCD$ 的顶点。连接 $\overline{AB}$ ， $\overline{BC}$ ， $\overline{CD}$ ，和 $\overline{DA}$ 的中点所形成的四边形是一个正方形。点 $D$ 的坐标之和是多少？

Points $A = (3, 9),$ $B = (1, 1),$ $C = (5, 3),$ and $D = (a, b)$ lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral $ABCD.$ The quadrilateral formed by joining the midpoints of $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA}$ is a square. What is the sum of the coordinates of point $D?$

$7$

$9$

$10$

$12$

$16$

答案：C

知识点：坐标几何中点向量

难度评级：1880

小提示：

设 $M$ 和 $N$ 分别为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的中点；先求出 $M$ 和 $N$

Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{BC};$ find $M$ and $N$ first

大提示：

下一个中点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}$ 旋转 $90^\circ$ 后的向量（等长且垂直）

The next midpoint $Q$ satisfies $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NM}$ rotated $90^\circ$ (same length, perpendicular)

解答：

$\overline{AB}$ 的中点为 $M = (2, 5)$ ， $\overline{BC}$ 的中点为 $N = (3, 2)$ 。

为了使中点四边形成为正方形，相邻边必须垂直且等长。由于 $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle$ ，通向 $\overline{DA}$ 的中点 $Q$ 的边向量 $\overrightarrow{MQ}$ 必须为 $\langle 3, 1 \rangle$ ，所以 $Q = (5, 6)$ 。

因为 $Q$ 是 $\overline{DA}$ 的中点，且 $A = (3, 9)$ ，得 $D = 2Q - A = (7, 3)$ 。它的坐标和为 $7 + 3 = 10$ 。

因此，正确答案是 C。

The midpoints are $M = (2, 5)$ of $\overline{AB}$ and $N = (3, 2)$ of $\overline{BC}.$

For the midpoint quadrilateral to be a square, consecutive sides are perpendicular and equal. With $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,$ the side $\overrightarrow{MQ}$ to the midpoint $Q$ of $\overline{DA}$ must be $\langle 3, 1 \rangle,$ so $Q = (5, 6).$

Since $Q$ is the midpoint of $\overline{DA}$ and $A = (3, 9),$ we get $D = 2Q - A = (7, 3).$ The sum of its coordinates is $7 + 3 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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