在 ((x^2)/(2)-\frac2x)^8 的展开式中， x^7 的系数是：

1960 AMC 12 第 20 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1960 AMC 12 第 20 题

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20.

在 $\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8$ 的展开式中， $x^7$ 的系数是：

The coefficient of $x^7$ in the expansion of $\left(\frac{x^2}{2}-\frac2x\right)^8$ is:

$56$

$-56$

$14$

$-14$

$0$

答案：D

知识点：二项式定理指数

难度评级：1570

小提示：

在含有 $k$ 个 $-\frac{2}{x}$ 因子的项中，确定 $x$ 的指数

In a term using $k$ copies of $-\frac{2}{x},$ determine the exponent of $x$

大提示：

解 $16-3k=7$ ，再计算相应的二项式系数

Solve $16-3k=7$ and then compute that binomial coefficient

解答：

选用 $k$ 个 $-\frac{2}{x}$ 因子的项，其指数为 $2(8-k)-k=16-3k\text{。}$ 要得到 $x^7$ ，需要 $k=3$ 。其系数为 $\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The term using $k$ factors of $-\frac{2}{x}$ has exponent $2(8-k)-k=16-3k.$ To obtain $x^7,$ we need $k=3.$ Its coefficient is $\binom83\left(\frac12\right)^5(-2)^3=-14.$

Thus, the correct answer is D.

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