1997 AMC 12 第 20 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1997 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

下列哪个整数可以表示为 $100$ 个连续正整数之和？

Which one of the following integers can be expressed as the sum of $100$ consecutive positive integers?

$1{,}627{,}384{,}950$

$2{,}345{,}678{,}910$

$3{,}579{,}111{,}300$

$4{,}692{,}581{,}470$

$5{,}815{,}937{,}260$

答案：A

知识点：arithmetic sequences 整除性

难度评级：1410

小提示：

将这些数写成 $a+1,a+2,\ldots,a+100$

Write the terms as $a+1,a+2,\ldots,a+100$

大提示：

它们的和模 $100$ 必须与 $50$ 同余

Their sum must be congruent to $50$ modulo $100$

解答：

它们的和为 $100a+(1+\cdots+100)$ $=100a+5050$ ，所以末两位是 $50$ 。只有 $1,627,384,950$ 具有这一性质，并且对应的 $a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}$ 是正整数。因此正确答案是 A。

The sum is $100a+(1+\cdots+100)$ $=100a+5050,$ so it ends in $50.$ Only $1,627,384,950$ has that property, and it gives the positive integer $a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.$ Thus A is correct.

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