Question

若 $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ ，其中 $a\gt b\gt0$ 且 $0^\circ\lt x\lt90^\circ$ ，则 $\sin x$ 等于：

If $\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},$ where $a\gt b\gt0$ and $0^\circ\lt x\lt90^\circ,$ then $\sin x$ is equal to:

$\dfrac ab$

$\dfrac ba$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}$

$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}$

$\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$

答案：E

知识点：三角恒等式直角三角形勾股定理代数变形

难度评级：1850

小提示：

把正切看作两条直角边 $2ab$ 与 $a^2-b^2$ 的比

Model the tangent as the ratio of legs $2ab$ and $a^2-b^2$

大提示：

相应斜边可借助 $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$ 化简

The corresponding hypotenuse simplifies because $(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2$

解答：

取一个对边为 $2ab$ 、邻边为 $a^2-b^2$ 的直角三角形。其斜边为 $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Use a right triangle with opposite leg $2ab$ and adjacent leg $a^2-b^2.$ Its hypotenuse is $\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}$ Hence $\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 第 20 题

答案：E

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题