Question

假设 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 构成公比为 $r$ 的等比数列，且 $x\ne y$ 。若 $x$ 、 $2y$ 、 $3z$ 构成等差数列，则 $r$ 为

Suppose $x,$ $y,$ $z$ is a geometric sequence with common ratio $r$ and $x\ne y.$ If $x,$ $2y,$ $3z$ is an arithmetic sequence, then $r$ is

$\frac14$

$\frac13$

$\frac12$

$2$

$4$

答案：B

知识点：geometric sequences arithmetic sequences quadratic equations

难度评级：1570

小提示：

写出 $y=xr$ 和 $z=xr^2$

Write $y=xr$ and $z=xr^2$

大提示：

等差数列条件是 $4y=x+3z$

The arithmetic-sequence condition is $4y=x+3z$

解答：

因为 $y=xr$ 且 $z=xr^2$ ，等差数列条件给出 $4xr=x+3xr^2\text{。}$ 这里 $x\ne0$ ，所以 $3r^2-4r+1=0$ ，得到 $r=1$ 或 $r=\frac{1}{3}$ 。条件 $x\ne y$ 排除 $r=1$ ，只剩 $r=\frac{1}{3}$ 。因此正确答案是 B。

Because $y=xr$ and $z=xr^2,$ the arithmetic-sequence condition gives $4xr=x+3xr^2.$ Here $x\ne0,$ so $3r^2-4r+1=0,$ yielding $r=1$ or $r=\frac{1}{3}.$ The condition $x\ne y$ excludes $r=1,$ leaving $r=\frac{1}{3}.$ Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 第 20 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题