Question

数列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\ldots$ 满足 $a_1 = 19$ 、 $a_9 = 99$ ，并且对所有 $n \ge 3$ ， $a_n$ 是前 $n - 1$ 项的算术平均数。求 $a_2$ 。

The sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ satisfies $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ and, for all $n \ge 3,$ $a_n$ is the arithmetic mean of the first $n - 1$ terms. Find $a_2.$

$29$

$59$

$79$

$99$

$179$

答案：E

知识点：递推平均数不变量

难度评级：1740

小提示：

证明 $a_n$ 对所有 $n \ge 3$ 都相同。

Show that $a_n$ is constant for all $n \ge 3$

大提示：

因而 $a_3 = a_9 = 99$ ，且 $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$ 。

Then $a_3 = a_9 = 99$ and $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

解答：

对 $n \ge 3$ 有 $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}$ 。因此 $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n\text{，}$ 所以从 $a_3$ 开始数列为常数。故 $a_3 = a_9 = 99$ 。

又 $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99$ ，得 $a_2 = 179$ 。

所以正确答案是 E。

For $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Then $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ so the sequence is constant from $a_3$ onward. Hence $a_3 = a_9 = 99.$

Since $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ we get $a_2 = 179.$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 第 20 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题