Question

对每个正整数 $n$ ，令 $f_1(n)$ 为 $n$ 的正整数因数个数的两倍；对 $j \ge 2$ ，令 $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))$ 。有多少个 $n \le 50$ 满足 $f_{50}(n) = 12$ ？

For each positive integer $n,$ let $f_1(n)$ be twice the number of positive integer divisors of $n,$ and for $j \ge 2,$ let $f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).$ For how many values of $n \le 50$ is $f_{50}(n) = 12?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：D

知识点：因数个数递推

难度评级：2110

小提示：

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12$ ，所以 $12$ 是不动点； $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ 也是不动点

$f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,$ so $12$ is a fixed point; $f_1(8) = 2\cdot 4 = 8$ is another

大提示：

足够多步之后，每个 $n$ 都会落到 $8$ 或 $12$ ；数出轨道到达 $12$ 的那些

After enough steps every $n$ lands on $8$ or $12;$ count those whose orbit reaches $12$

解答：

$8$ 和 $12$ 都是不动点。对 $n\le50$ ，第一个值 $f_1(n)=2d(n)$ 至多为 $20$ 。检查不超过 $20$ 的偶数可知，一个轨道恰好在第一个值为 $12,18$ 或 $20$ 时到达 $12$ 。所以需要 $d(n)=6,9$ 或 $10$ 。

不超过 $50$ 且有 $6$ 个因数的数是 $12,18,20,28,32,44,45,50$ ；有 $9$ 个因数的唯一一个数是 $36$ ，有 $10$ 个因数的唯一一个数是 $48$ 。这 $10$ 个值都到达不动点 $12$ 。

因此，正确答案是 D。

Both $8$ and $12$ are fixed. For $n\le50,$ the first value $f_1(n)=2d(n)$ is at most $20.$ Checking the even values through $20$ shows that an orbit reaches $12$ exactly when its first value is $12,18,$ or $20.$ Thus we need $d(n)=6,9,$ or $10.$

The numbers at most $50$ with $6$ divisors are $12,18,20,28,32,44,45,50;$ the only one with $9$ divisors is $36,$ and the only one with $10$ divisors is $48.$ These $10$ values all reach the fixed point $12.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题