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1973 AMC 12 第 20 题

先试着解答 1973 AMC 12 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1973 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

一名牛仔位于一条正向东流的河流以南 44 英里处。他还位于自己的小屋以西 88 英里、以北 77 英里处。他想先到河边让马饮水，再回家。完成这段行程的最短路程（英里）为

A cowboy is 44 miles south of a stream which flows due east. He is also 88 miles west and 77 miles north of his cabin. He wishes to water his horse at the stream and return home. The shortest distance (in miles) he can travel and accomplish this is

4+1854+\sqrt{185}

1616

1717

1818

32+137\sqrt{32}+\sqrt{137}

答案：C
知识点：反射（几何）距离公式最优化
难度评级：1850
小提示：

将牛仔的起点关于笔直的河流作镜像

Reflect the cowboy’s starting point across the straight stream

大提示：

镜像后，途经河流的两段路程变成通向小屋的一条直线段

After reflection, the two-leg trip through the stream becomes one straight segment to the cabin

解答：

将河流取为 xx 轴，并把牛仔置于 C=(0,−4)C=(0,-4)。则小屋位于 H=(8,−11)H=(8,-11)。将 CC 关于河流反射到 D=(0,4)D=(0,4)。对河流上的任意点 SS，有 CS=DSCS=DS，所以使 CS+SHCS+SH 最小等价于使 DS+SHDS+SH 最小。当 DD、SS、HH 共线时取得最小值。最短路程为 DH=82+152=289=17。 DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\text{。}

所以正确答案是 C。

Take the stream as the xx-axis and put the cowboy at C=(0,−4).C=(0,-4). His cabin is then H=(8,−11).H=(8,-11). Reflect CC across the stream to D=(0,4).D=(0,4). For any point SS on the stream, CS=DS,CS=DS, so minimizing CS+SHCS+SH is the same as minimizing DS+SH.DS+SH. This occurs when D,D, S,S, HH are collinear. The minimum distance is DH=82+152=289=17. DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.

Therefore, the correct answer is C.

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