Question

在 $xy$ 平面内，从 $(0,0)$ 到 $(12,16)$ 且不进入圆 $(x-6)^2+(y-8)^2=25$ 内部的最短路径长度是多少？

In the $xy$ -plane, what is the length of the shortest path from $(0,0)$ to $(12,16)$ that does not go inside the circle $(x-6)^2+(y-8)^2=25?$

$10\sqrt3$

$10\sqrt5$

$10\sqrt3+\frac{5\pi}{3}$

$\frac{40\sqrt3}{3}$

$10+5\pi$

答案：C

知识点：shortest paths tangent lengths arc length

难度评级：1990

小提示：

圆心是两个端点的中点

The circle’s center is the midpoint of the two endpoints

大提示：

最短的允许路径由两条切线段和两个切点之间的较短圆弧组成

The shortest permitted path consists of two tangent segments and the shorter arc between their tangency points

解答：

每个端点到圆心的距离都是 $10$ ，所以每条切线段的长度为 $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3$ 。在切点处的直角三角形中，圆心处的角为 $60^\circ$ 。由于从圆心到两个端点的射线方向相反，两个切点之间的小弧所对圆心角为 $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ$ ，所以弧长为 $\frac{5\pi}{3}$ 。总长度为 $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3}$ ，正确答案是 C。

Each endpoint is $10$ units from the circle’s center, so each tangent segment has length $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ In the right triangle at a tangency point, the angle at the center is $60^\circ.$ Since the endpoint rays are opposite, the intervening minor arc subtends $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,$ so its length is $\frac{5\pi}{3}.$ The total is $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},$ and the correct answer is C.

1996 AMC 12 第 20 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题