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1971 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

方程 x2+2hx=3x^2+2hx=3 的两根平方和为 1010。hh 的绝对值等于：

The sum of the squares of the roots of the equation x2+2hx=3x^2+2hx=3 is 10.10. The absolute value of hh is equal to:

−1-1

12\frac{1}{2}

23\frac{2}{3}

22

以上都不是

None of these

答案：E
知识点：韦达定理二次方程代数变形
难度评级：1640
小提示：

利用两根的和与积

Use the sum and product of the two roots

大提示：

若两根为 r,sr,s，则 r+s=−2hr+s=-2h 且 rs=−3rs=-3

If the roots are r,s,r,s, then r+s=−2hr+s=-2h and rs=−3rs=-3

解答：

设两根为 r,sr,s，由韦达定理，r+s=−2hr+s=-2h 且 rs=−3rs=-3。于是 4h2=(r+s)2=r2+s2+2rs=10−6=4。 \begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4\text{。} \end{aligned} 因此 ∣h∣=1|h|=1。选项 A 为 −1-1，所以选项 A 至 D 中均没有该值。

因此，正确答案为 E。

For roots r,s,r,s, Vieta’s formulas give r+s=−2hr+s=-2h and rs=−3.rs=-3. Hence 4h2=(r+s)2=r2+s2+2rs=10−6=4. \begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4. \end{aligned} Therefore ∣h∣=1,|h|=1, which is not among choices A-D because choice A is −1.-1.

Therefore, the correct answer is E.

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