Question

一个 $n$ 边凸多边形的内角度数成等差数列。若公差为 $5^\circ$ ，最大角为 $160^\circ$ ，则 $n$ 等于：

The measures of the interior angles of a convex polygon of $n$ sides are in arithmetic progression. If the common difference is $5^\circ$ and the largest angle is $160^\circ,$ then $n$ equals:

$9$

$10$

$12$

$16$

$32$

答案：A

知识点：角度和等差数列二次方程

难度评级：1800

小提示：

将最小角写成 $160-5(n-1)$

Write the smallest angle as $160-5(n-1)$

大提示：

令等差数列的和等于 $180(n-2)$

Equate the arithmetic-series sum to $180(n-2)$

解答：

最小角为 $160-5(n-1)$ 。内角和为 $\frac n2$ 乘以 $320-5(n-1)$ ，并且等于 $180(n-2)$ 。化简得 $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0\text{。} \end{aligned}$ 因此 $n=9$ 。

因此，正确答案是 A。

The smallest angle is $160-5(n-1).$ The angle sum is $\frac n2$ times $320-5(n-1),$ and it equals $180(n-2).$ This simplifies to $\begin{aligned} n^2+7n-144&=0,\\ (n-9)(n+16)&=0. \end{aligned}$ Thus $n=9.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题