Question

一个棱长为 $n$ 个单位的木制正方体（其中 $n$ 是整数，且其值 $\gt2$ ）表面全部涂黑。用平行于各面的切割，将它切成 $n^3$ 个棱长为一个单位的小正方体。若恰有一个面涂黑的小正方体数量等于完全没有涂漆的小正方体数量，求 $n$ 。

A wooden cube with edge length $n$ units (where $n$ is an integer $\gt2$ ) is painted black all over. By slices parallel to its faces, the cube is cut into $n^3$ smaller cubes each of unit edge length. If the number of smaller cubes with just one face painted black is equal to the number of smaller cubes completely free of paint, what is $n?$

$5$

$6$

$7$

$8$

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：代数变形基本计数正方体

难度评级：1660

小提示：

数出边长为 $n-2$ 的内部正方体中的未涂漆小立方体

Count the unpainted cubes in the interior cube of side length $n-2$

大提示：

在每个面上，恰有 $(n-2)^2$ 个小正方体不接触棱

On each face, exactly $(n-2)^2$ cubes avoid the edges

解答：

完全未涂漆的小正方体有 $(n-2)^3$ 个。六个面各贡献 $(n-2)^2$ 个恰有一个面涂黑的小正方体，所以相等条件给出 $6(n-2)^2=(n-2)^3\text{。}$ 因为 $n\gt2$ ，两边除以 $(n-2)^2$ ，得到 $n-2=6$ ，所以 $n=8$ 。

因此正确答案是 D。

There are $(n-2)^3$ completely unpainted cubes. Each of the six faces contributes $(n-2)^2$ cubes with exactly one painted face, so equality gives $6(n-2)^2=(n-2)^3.$ Since $n\gt2,$ division by $(n-2)^2$ gives $n-2=6,$ hence $n=8.$

Therefore the correct answer is D.

1985 AMC 12 第 20 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题