Question

点 $A(6,13)$ 和 $B(12,11)$ 在平面中的圆 $\omega$ 上。假设 $\omega$ 在 $A$ 和 $B$ 处的切线相交于 $x$ -轴上的一点。 $\omega$ 的面积是多少？

Points $A(6,13)$ and $B(12,11)$ lie on circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$ -axis. What is the area of $\omega?$

$\dfrac{83\pi}{8}$

$\dfrac{21\pi}{2}$

$\dfrac{85\pi}{8}$

$\dfrac{43\pi}{4}$

$\dfrac{87\pi}{8}$

答案：C

知识点：圆切线坐标几何

难度评级：2050

小提示：

相等的切线长说明交点到 $A$ 和 $B$ 的距离相等

Equal tangent lengths put the intersection point equidistant from $A$ and $B$

大提示：

先找出 $x$ -轴上的交点，再用 $OA\perp PA$ 和 $OB\perp PB$ 定位圆心 $O$ 。

Find that point on the $x$ -axis, then use $OA\perp PA$ and $OB\perp PB$ to locate the center $O$

解答：

设切线交点为 $P=(x,0)$ 。相等切线长给出 $PA=PB$ ，所以 $(x-6)^2+13^2$ $=(x-12)^2+11^2$ ，得 $x=5$ ，即 $P=(5,0)$ 。

圆心 $O=(h,k)$ 满足 $OA\perp PA$ 和 $OB\perp PB$ 。因为 $PA=(1,13)$ 且 $PB=(7,11)$ ，得到 $h+13k=175$ 和 $7h+11k=205$ ，所以 $O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right)$ 。

于是 $r^2=OA^2$ $=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2$ $=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8}$ ，所以面积为 $\dfrac{85\pi}{8}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $P=(x,0)$ be the intersection. Equal tangent lengths give $PA=PB,$ so $(x-6)^2+13^2$ $=(x-12)^2+11^2,$ yielding $x=5$ and $P=(5,0).$

The center $O=(h,k)$ satisfies $OA\perp PA$ and $OB\perp PB.$ With $PA=(1,13)$ and $PB=(7,11),$ these give $h+13k=175$ and $7h+11k=205,$ so $O=\left(\dfrac{37}{4},\dfrac{51}{4}\right).$

Then $r^2=OA^2$ $=\left(\dfrac{13}{4}\right)^2+\left(\dfrac14\right)^2$ $=\dfrac{170}{16}=\dfrac{85}{8},$ so the area is $\dfrac{85\pi}{8}.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2050

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题