Question

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是非零实数，满足 $\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}\text{，} \end{aligned}$ 且 $x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\text{，}$ 并且 $x\lt0$ ，则 $x$ 等于

If $a,$ $b,$ $c$ are nonzero real numbers such that $\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}$ and $x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},$ and $x\lt0,$ then $x$ equals

$-1$

$-2$

$-4$

$-6$

$-8$

答案：A

知识点：方程组分类讨论对称性（代数）

难度评级：2100

小提示：

令三个相等的分式都等于 $t$ ，再两两比较所得方程

Set the three equal fractions to $t$ and compare pairs of the resulting equations

大提示：

比较可推出 $a=b=c$ 或 $a+b+c=0$ ；再利用 $x$ 的符号

The comparison forces either $a=b=c$ or $a+b+c=0$ ; use the sign of $x$

解答：

令它们的公共值为 $t$ 。由前两个方程可得 $(b-c)(t+2)=0\text{，}$ 循环比较可得另外两个类似关系。因此要么 $a=b=c$ ，此时 $x=8$ ；要么 $t=-2$ 。在后一种情形下， $a+b=-c$ 、 $b+c=-a$ 、 $c+a=-b$ ，所以 $x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1\text{。}$ 条件 $x\lt0$ 选出后一数值。

因此，正确答案是 A。

Let the common value be $t.$ The first two resulting equations imply $(b-c)(t+2)=0,$ and cyclic comparisons give the analogous relations. Thus either $a=b=c,$ which gives $x=8,$ or $t=-2.$ In the latter case $a+b=-c,$ $b+c=-a,$ and $c+a=-b,$ so $x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.$ The condition $x\lt0$ selects the latter value.

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题