Question

用 $4$ 个白色单位立方体和 $4$ 个蓝色单位立方体构造一个 $2 \times 2 \times 2$ 的立方体。有多少种不同的构造方式？（若一种构造可以旋转后与另一种重合，则两者视为相同。）

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：A

知识点：伯恩赛德引理正方体

难度评级：2380

小提示：

对立方体的 $24$ 个旋转作用在 $8$ 个角位置上使用 Burnside 引理。

Use Burnside’s lemma over the $24$ rotations of the cube acting on the $8$ corner positions

大提示：

对每种旋转类型，数出它固定的恰有 $4$ 个蓝色小立方体的涂色数。

For each rotation type, count the colorings with exactly $4$ blue cubes that it fixes

解答：

由 Burnside 引理，答案是 $24$ 个旋转作用于 $8$ 个小立方体位置时，每个旋转固定的“恰有 $4$ 个蓝色”的构造数的平均值。

恒等旋转固定 $\binom{8}{4} = 70$ 种。 $6$ 个面四分之一转各固定 $2$ 种，共 $(12)$ 种； $3$ 个面半转各固定 $6$ 种，共 $(18)$ 种； $8$ 个顶点旋转各固定 $4$ 种，共 $(32)$ 种； $6$ 个棱半转各固定 $6$ 种，共 $(36)$ 种。

固定构造数之和为 $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168$ ，平均数为 $\dfrac{168}{24} = 7$ 。

所以正确答案是 A。

By Burnside’s lemma, the count is the average number of $4$ -blue colorings fixed by each of the $24$ rotations acting on the $8$ cubies.

The identity fixes $\binom{8}{4} = 70.$ The $6$ face quarter-turns fix $2$ each $(12).$ The $3$ face half-turns fix $6$ each $(18).$ The $8$ vertex rotations fix $4$ each $(32).$ The $6$ edge half-turns fix $6$ each $(36).$

The total is $70 + 12 + 18 + 32 + 36 = 168,$ and $\dfrac{168}{24} = 7.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall 第 20 题

答案：A

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题