1982 AMC 12 第 20 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1982 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

满足方程 $x^2+y^2=x^3$ 的正整数对 $(x,y)$ 的数量为

The number of pairs of positive integers $(x,y)$ which satisfy the equation $x^2+y^2=x^3$ is

$0$

$1$

$2$

无限多

not finite

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：丢番图方程完全平方数

难度评级：1940

小提示：

将方程改写为 $y^2=x^2(x-1)$

Rearrange as $y^2=x^2(x-1)$

大提示：

令 $x-1$ 为完全平方数

Choose $x-1$ to be a perfect square

解答：

对每个正整数 $k$ ，取 $x=k^2+1$ ，且 $y=k(k^2+1)=kx$ 。则 $y^2=k^2x^2=x^2(x-1)$ ，所以 $x^2+y^2=x^3$ 。这样就得到无穷多个正整数对。

因此，正确答案为 D。

For every positive integer $k,$ take $x=k^2+1$ and $y=k(k^2+1)=kx.$ Then $y^2=k^2x^2=x^2(x-1),$ so $x^2+y^2=x^3.$ This supplies infinitely many positive-integer pairs.

Therefore, the correct answer is D.

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