Question

一个凸多面体 $Q$ 有顶点 $V_1$ ， $V_2$ ， $\ldots$ ， $V_n$ ，并有 $100$ 条边。用平面 $P_1$ ， $P_2$ ， $\ldots$ ， $P_n$ 切割该多面体，使得平面 $P_k$ 只切过与顶点 $V_k$ 相接的那些边。此外，没有两个平面在 $Q$ 的内部或表面相交。这些切割产生了 $n$ 个棱锥和一个新的多面体 $R$ 。 $R$ 有多少条边？

A convex polyhedron $Q$ has vertices $V_1,$ $V_2,$ $\ldots,$ $V_n,$ and $100$ edges. The polyhedron is cut by planes $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_n$ in such a way that plane $P_k$ cuts only those edges that meet at vertex $V_k.$ In addition, no two planes intersect inside or on $Q.$ The cuts produce $n$ pyramids and a new polyhedron $R.$ How many edges does $R$ have?

$200$

$2n$

$300$

$400$

$4n$

答案：C

知识点：多面体双重计数

难度评级：2040

小提示：

每条原来的边都在靠近两个端点处各被切一次，产生新的顶点。

Each original edge is cut once near each of its two endpoints, creating new vertices

大提示：

计算新产生的边（每个边端点对应一条）以及每条原边保留下来的中间部分。

Count the new edges (one per edge-endpoint) plus the surviving middle portion of each original edge

解答：

$100$ 条边中的每一条都在靠近两个端点处各被切一次，所以 $R$ 有 $2 \cdot 100 = 200$ 个顶点。

在顶点 $V_k$ 处的切割会形成一个小多边形，其边数等于 $V_k$ 的度数。对所有顶点求和得到 $200$ ，即所有边端点的总数。每条原边的中间部分也保留下来，又增加 $100$ 条边。因此 $R$ 有 $200 + 100 = 300$ 条边。

所以正确答案是 C。

Each of the $100$ edges is cut once near each endpoint, so $R$ has $2 \cdot 100 = 200$ vertices.

The cut at vertex $V_k$ creates a small polygon whose number of edges equals the degree of $V_k$ ; summed over all vertices this is $200,$ the total number of edge-endpoints. The middle portion of each original edge also survives, adding $100$ edges. So $R$ has $200 + 100 = 300$ edges.

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题