Question

设 $x$ 取遍 $[0, 1]$ ，并定义 $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1\text{。} \end{cases}$ 令 $f^{[2]}(x) = f(f(x))$ ，再令 $f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))$ ，其中 $n \ge 2$ 为整数。有多少个 $x$ 在 $[0, 1]$ 中满足 $f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}$ ？

For each $x$ in $[0, 1],$ define $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le \tfrac{1}{2},\\ 2 - 2x, & \tfrac{1}{2} \lt x \le 1. \end{cases}$ Let $f^{[2]}(x) = f(f(x)),$ and $f^{[n+1]}(x) = f^{[n]}(f(x))$ for each integer $n \ge 2.$ For how many values of $x$ in $[0, 1]$ is $f^{[2005]}(x) = \tfrac{1}{2}?$

$0$

$2005$

$4010$

$2005^2$

$2^{2005}$

答案：E

知识点：函数递推

难度评级：2330

小提示：

设 $g(n)$ 为 $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}$ 的解的个数；找 $g(n)$ 的递推式。

Let $g(n)$ be the number of solutions of $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2};$ find a recursion for $g(n)$

大提示：

因为 $f$ 把 $[0, \tfrac12]$ 和 $[\tfrac12, 1]$ 各自映到整个 $[0, 1]$ ，每个解分裂成两个，所以 $g(n) = 2\,g(n-1)$ 。

Because $f$ maps each of $[0, \tfrac12]$ and $[\tfrac12, 1]$ onto all of $[0, 1],$ each solution splits into two, giving $g(n) = 2\,g(n-1)$

解答：

设 $g(n)$ 表示方程 $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}$ 在 $[0, 1]$ 中的解数。由于 $f$ 把两个半区间 $[0, \tfrac12]$ 与 $[\tfrac12, 1]$ 都映到整个 $[0, 1]$ ，所以 $f^{[n-1]}(y) = \tfrac12$ 的每个解都来自两个 $x$ 值。

边界值 $x = \tfrac12$ 满足 $f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12$ ，不会造成解的重合或丢失，因此 $g(n) = 2\,g(n-1)$ 。

由于 $g(1) = 2$ ，可得 $g(2005) = 2^{2005}$ 。

所以正确答案是 E。

Let $g(n)$ count the solutions of $f^{[n]}(x) = \tfrac{1}{2}$ in $[0, 1].$ Since $f$ maps each of the two halves $[0, \tfrac12]$ and $[\tfrac12, 1]$ onto all of $[0, 1],$ every solution of $f^{[n-1]}(y) = \tfrac12$ comes from two values of $x$ (one in each half).

The boundary value $x = \tfrac12$ satisfies $f^{[n]}(\tfrac12) = f^{[n-1]}(1) = 0 \ne \tfrac12,$ so no solutions are lost, giving $g(n) = 2\,g(n-1).$

Since $g(1) = 2,$ we conclude $g(2005) = 2^{2005}.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12A 第 20 题

答案：E

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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