Question

设 $Q(z)$ 和 $R(z)$ 是唯一满足 $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ 且 $R$ 的次数小于 $2$ 的多项式。 $R(z)$ 是什么？

Let $Q(z)$ and $R(z)$ be the unique polynomials such that $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ and the degree of $R$ is less than $2.$ What is $R(z)?$

$-z$

$-1$

$2021$

$z+1$

$2z+1$

答案：A

知识点：多项式单位根模运算

难度评级：1990

小提示：

模 $z^2+z+1$ 时有 $z^3\equiv 1$ ，因为 $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

Modulo $z^2+z+1$ we have $z^3\equiv 1,$ since $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

大提示：

先把指数 $2021$ 对 $3$ 取余，再用 $z^2\equiv -z-1$ 化简 $z^2$

Reduce the exponent $2021$ modulo $3,$ then reduce $z^2$ using $z^2\equiv -z-1$

解答：

因为 $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ 且 $2021=3\cdot 673+2$ ，所以 $z^{2021}\equiv z^2$ 。

因此 $z^{2021}+1\equiv z^2+1$ 。再用 $z^2\equiv -z-1$ ，化简，得到 $-z-1+1=-z$ 。

所以 $R(z)=-z$ 。

所以正确答案是 A。

Since $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ and $2021=3\cdot 673+2,$ we have $z^{2021}\equiv z^2.$

So $z^{2021}+1\equiv z^2+1.$ Reducing further with $z^2\equiv -z-1,$ this is $-z-1+1=-z.$

Therefore $R(z)=-z.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 20 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题