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2023 AMC 12B 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

青蛙 Cyrus 先向某个方向跳 22 个单位，再向另一个方向跳 22 个单位。他落在离出发点 小于 11 个单位处的概率是多少？

Cyrus the frog jumps 22 units in a direction, then 22 more in another direction. What is the probability that he lands less than 11 unit away from his starting position?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

38\dfrac{\sqrt{3}}{8}

arctan⁡12π\dfrac{\arctan\tfrac12}{\pi}

2arcsin⁡14π\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}

答案：E
知识点：几何概率余弦定理
难度评级：2110
小提示：

固定第一次跳跃沿 xx-轴；第二次跳跃形成一个均匀随机角 θ\theta。

Fix the first jump along the xx-axis; the second jump makes a uniformly random angle θ\theta

大提示：

落点距离满足 R2=8+8cos⁡θR^2=8+8\cos\theta；要求 R<1R\lt 1，即 cos⁡θ<−78\cos\theta\lt-\tfrac78。

The landing distance satisfies R2=8+8cos⁡θ;R^2=8+8\cos\theta; require R<1,R\lt 1, i.e. cos⁡θ<−78\cos\theta\lt-\tfrac78

解答：

取第一次跳跃为 (2,0)(2,0)，第二次为 (2cos⁡θ,2sin⁡θ)(2\cos\theta,2\sin\theta)，其中 θ\theta 在 [0,2π)[0,2\pi) 上均匀分布。落点距离满足 R2=(2+2cos⁡θ)2R^2=(2+2\cos\theta)^2 +(2sin⁡θ)2+(2\sin\theta)^2 =8+8cos⁡θ=8+8\cos\theta。需要 R<1R\lt 1，即 cos⁡θ<−78\cos\theta\lt-\tfrac78。这样的角的测度为 2arccos⁡782\arccos\tfrac78，所以概率为 2arccos⁡782π=arccos⁡78π\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}。利用 arccos⁡(1−2x2)=2arcsin⁡x\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x，并取 x=14x=\tfrac14，得到 arccos⁡78=2arcsin⁡14\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14，因此概率为 2arcsin⁡14π\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}。

因此，正确答案是 E。

Take the first jump as (2,0)(2,0) and the second as (2cos⁡θ,2sin⁡θ)(2\cos\theta,2\sin\theta) with θ\theta uniform on [0,2π).[0,2\pi). The landing distance satisfies R2=(2+2cos⁡θ)2R^2=(2+2\cos\theta)^2 +(2sin⁡θ)2+(2\sin\theta)^2 =8+8cos⁡θ.=8+8\cos\theta. We need R<1,R\lt 1, i.e. cos⁡θ<−78.\cos\theta\lt-\tfrac78. The measure of such angles is 2arccos⁡78,2\arccos\tfrac78, so the probability is 2arccos⁡782π=arccos⁡78π.\dfrac{2\arccos\tfrac78}{2\pi}= \dfrac{\arccos\tfrac78}{\pi}. Using arccos⁡(1−2x2)=2arcsin⁡x\arccos(1-2x^2)=2\arcsin x with x=14x=\tfrac14 gives arccos⁡78=2arcsin⁡14,\arccos\tfrac78=2\arcsin\tfrac14, so the probability is 2arcsin⁡14π.\dfrac{2\arcsin\tfrac14}{\pi}.

Thus, the correct answer is E.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

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