Question

某等比数列 $(a_n)$ 满足 $a_1=\sin x$ ， $a_2=\cos x$ ，且 $a_3=\tan x$ ，其中 $x$ 为某个实数。对哪个 $n$ 有 $a_n=1+\cos x$ ？

A geometric sequence $(a_n)$ has $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ and $a_3=\tan x$ for some real number $x.$ For what value of $n$ does $a_n=1+\cos x?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：E

知识点：等比数列三角恒等式

难度评级：2240

小提示：

公比为 $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ ；计算 $a_4=a_3\cdot r$

The common ratio is $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;$ compute $a_4=a_3\cdot r$

大提示：

证明 $a_4=1$ 且 $1+\cos x=r^4$ ，再把 $1+\cos x$ 写成 $a_4\cdot r^4$

Show $a_4=1$ and $1+\cos x=r^4,$ then write $1+\cos x$ as $a_4\cdot r^4$

解答：

公比为 $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x$ 。因此 $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1$ 。

由 $a_3=a_1r^2$ ，得 $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$ ，所以 $\sin^2 x=\cos^3 x$ ，即 $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1$ 。

因此 $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ 。又 $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x}$ ，所以 $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x$ 。

所以 $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8$ ，因此 $n=8$ 。

因此，正确答案是 E。

The common ratio is $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Then $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

From $a_3=a_1r^2,$ we get $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ so $\sin^2 x=\cos^3 x,$ i.e. $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Hence $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ Also $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ so $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Therefore $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B 第 20 题

答案：E

难度评级：2240

小提示：

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解答：

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