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2018 AMC 12B 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

设 ABCDEFABCDEF 是边长为 11 的正六边形。记 XX、YY 和 ZZ 分别为边 ABAB、CDCD 和 EFEF 的中点。内部区域为 △ACE\triangle ACE 与 △XYZ\triangle XYZ 的内部交集的凸六边形面积是多少？

Let ABCDEFABCDEF be a regular hexagon with side length 1.1. Denote by X,X, Y,Y, and ZZ the midpoints of sides AB,AB, CD,CD, and EF,EF, respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of △ACE\triangle ACE and △XYZ?\triangle XYZ?

383\dfrac{3}{8}\sqrt{3}

7163\dfrac{7}{16}\sqrt{3}

15323\dfrac{15}{32}\sqrt{3}

123\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

9163\dfrac{9}{16}\sqrt{3}

答案：C
知识点：正多边形面积比等边三角形
难度评级：2270
小提示：

把这个正六边形放在单位圆上，写出 A,C,EA,C,E 和三个中点的坐标。

Put the regular hexagon on the unit circle and write coordinates for A,C,EA,C,E and the three midpoints

大提示：

求这两个等边三角形各边所在直线的交点，得到六个顶点，再使用鞋带公式。

Intersect the side lines of the two equilateral triangles to find the six vertices, then use shoelace

解答：

把正六边形放在单位圆上，取 A=(1,0)A=(1,0)、C=(−12,32)C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}) 和 E=(−12,−32)E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})。题中指定的三个中点为 X=(34,34)X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4})、Y=(−34,34)Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}) 和 Z=(0,−32)Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2})。

求 △ACE\triangle ACE 与 △XYZ\triangle XYZ 各边所在直线的交点，就得到公共内部的六个顶点，按循环顺序为 (−12,0),(−18,−338),(14,−34),(58,38),(14,34),(−12,34)。 \begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}) \end{gathered}\text{。} 对这些顶点使用鞋带公式，得到面积为 15332\dfrac{15\sqrt3}{32}。

所以正确答案是 C。

Place the regular hexagon on the unit circle with A=(1,0),A=(1,0), C=(−12,32),C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}), and E=(−12,−32).E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}). The three specified midpoints are X=(34,34),X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), Y=(−34,34),Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}), and Z=(0,−32).Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).

Intersecting the side lines of △ACE\triangle ACE and △XYZ\triangle XYZ gives the six vertices of their common interior, in cyclic order: (−12,0),(−18,−338),(14,−34),(58,38),(14,34),(−12,34). \begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered} The shoelace formula applied to these vertices gives area 15332.\dfrac{15\sqrt3}{32}.

Thus, the correct answer is C.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

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