Question

设 $\triangle XOY$ 是直角三角形，且 $m\angle XOY=90^\circ$ 。设 $M$ 和 $N$ 分别是直角边 $OX$ 和 $OY$ 的中点。已知 $XN=19$ 且 $YM=22$ ，求 $XY$ 。

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $m\angle XOY=90^\circ.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY,$ respectively. Given that $XN=19$ and $YM=22,$ find $XY.$

$24$

$26$

$28$

$30$

$32$

答案：B

知识点：直角三角形中线（几何）勾股定理

难度评级：1660

小提示：

设 $OM=a$ ， $ON=b$ ；则 $19^2=(2a)^2+b^2$ ，且 $22^2=a^2+(2b)^2$ 。

Let $OM=a,$ $ON=b$ ; then $19^2=(2a)^2+b^2$ and $22^2=a^2+(2b)^2$

大提示：

把两个方程相加得到 $5(a^2+b^2)$ ；注意 $XY=2\sqrt{a^2+b^2}$ 。

Add the equations to get $5(a^2+b^2)$ ; note that $XY=2\sqrt{a^2+b^2}$

解答：

设 $OM=a$ ， $ON=b$ 。因为 $M,N$ 是中点，得到 $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ ，且 $YM^2=a^2+(2b)^2=484$ 。

两式相加得 $5(a^2+b^2)=845$ ，所以 $a^2+b^2=169$ 。于是 $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13$ 。又因为 $MN$ 是连接 $M$ 、 $N$ 的中位线， $XY=2\,MN=26$ 。

所以正确答案是 B。

Let $OM=a$ and $ON=b.$ Since $M,N$ are midpoints, $XN^2=(2a)^2+b^2=361$ and $YM^2=a^2+(2b)^2=484.$

Adding, $5(a^2+b^2)=845,$ so $a^2+b^2=169.$ Then $MN=\sqrt{a^2+b^2}=13,$ and since $MN$ is the midsegment joining $M$ and $N,$ we have $XY=2\,MN=26.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12B 第 20 题

答案：B

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题