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2004 AMC 12A 第 20 题

先试着解答 2004 AMC 12A 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2004 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

独立随机地选取 00 和 11 之间的数 aa 与 bb，并令 cc 为它们的和。将 aa，bb，和 cc 分别四舍五入到最接近的整数，所得结果为 AA，BB，和 CC。A+B=CA + B = C 的概率是多少？

Select numbers aa and bb between 00 and 11 independently and at random, and let cc be their sum. Let A,A, B,B, and CC be the results when a,a, b,b, and c,c, respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that A+B=C?A + B = C?

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

23\dfrac{2}{3}

34\dfrac{3}{4}

答案：E
知识点：几何概率分类讨论
难度评级：1990
小提示：

将 (a,b)(a, b) 看成单位正方形中的随机点，并按 a,ba, b 是否小于 12\tfrac12 分类。

Model (a,b)(a, b) as a random point in the unit square and split by whether each of a,ba, b is below 12\tfrac12

大提示：

只有当 a,b≥12a, b \ge \tfrac12 但 a+b<32a + b \lt \tfrac32，或 a,b<12a, b \lt \tfrac12 但 a+b≥12a + b \ge \tfrac12 时条件失败。

The condition fails only when a,b≥12a, b \ge \tfrac12 but a+b<32,a + b \lt \tfrac32, or a,b<12a, b \lt \tfrac12 but a+b≥12a + b \ge \tfrac12

解答：

将选择表示为单位正方形中的点 (a,b)(a, b)。aa 和 bb 小于 12\tfrac12 时四舍五入为 00，否则四舍五入为 11；而 c=a+bc = a + b 的分界点为 12\tfrac12 和 32\tfrac32。

这个等式恰好在两个区域内不成立。若 a,b<12a, b \lt \tfrac12，则当 a+b≥12a + b \ge \tfrac12 时不成立，这是一个面积为 18\tfrac18 的直角三角形。若 a,b≥12a, b \ge \tfrac12，则当 a+b<32a + b \lt \tfrac32 时不成立，这是另一个面积为 18\tfrac18 的直角三角形。当 a,ba, b 中恰好有一个不小于 12\tfrac12 时，等式总是成立。

因此不成立的概率为 18+18=14\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14，所以所求概率为 1−14=341 - \tfrac14 = \tfrac34。

所以正确答案是 E。

Represent the choices as a point (a,b)(a, b) in the unit square. Each of aa and bb rounds to 00 if below 12\tfrac12 and to 11 otherwise, while c=a+bc = a + b rounds based on 12\tfrac12 and 32.\tfrac32.

The equation fails in exactly two regions. If a,b<12,a, b \lt \tfrac12, it fails when a+b≥12;a + b \ge \tfrac12; this is a right triangle of area 18.\tfrac18. If a,b≥12,a, b \ge \tfrac12, it fails when a+b<32;a + b \lt \tfrac32; this is another right triangle of area 18.\tfrac18. When exactly one of a,ba, b is at least 12,\tfrac12, the equation always holds.

Thus the failure probability is 18+18=14,\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14, so the requested probability is 1−14=34.1 - \tfrac14 = \tfrac34.

Thus, the correct answer is E.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

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