LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2021 AMC 12A Spring 第 20 题

先试着解答 2021 AMC 12A Spring 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12A Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

假设一条顶点为 VV、焦点为 FF 的抛物线上存在一点 AA，使得 AF=20AF = 20 且 AV=21AV = 21。长度 FVFV 的所有可能值之和是多少？

Suppose that on a parabola with vertex VV and a focus FF there exists a point AA such that AF=20AF = 20 and AV=21.AV = 21. What is the sum of all possible values of the length FV?FV?

1313

403\dfrac{40}{3}

413\dfrac{41}{3}

1414

433\dfrac{43}{3}

答案：B
知识点：抛物线距离公式韦达定理
难度评级：2300
小提示：

将 VV 放在原点，令焦距 f=FVf = FV；那么 AFAF 等于 AA 到准线的距离

Put VV at the origin with focal distance f=FV;f = FV; then AFAF equals the distance from AA to the directrix

大提示：

设 A=(x,y)A = (x, y)，使用 y+f=20y + f = 20 和 x2+y2=212x^2 + y^2 = 21^2，再结合 x2=4fyx^2 = 4fy 得到关于 ff 的二次方程

With A=(x,y),A = (x, y), use y+f=20y + f = 20 and x2+y2=212,x^2 + y^2 = 21^2, with x2=4fy,x^2 = 4fy, to get a quadratic in ff

解答：

令 V=(0,0)V = (0, 0)，焦点 F=(0,f)F = (0, f)，准线为 y=−fy = -f，其中 f=FVf = FV。抛物线上的点 A=(x,y)A = (x, y) 满足 x2=4fyx^2 = 4fy，且 AF=y+f=20AF = y + f = 20，所以 y=20−fy = 20 - f。又 AV2=x2+y2=4fy+y2AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2 =441= 441。

代入 y=20−fy = 20 - f： 4f(20−f)+(20−f)2=441  ⟹  3f2−40f+41=0。 \begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0\text{。} \end{aligned} 由 Vieta 公式，两个可能的 ff 值之和为 403\dfrac{40}{3}。

因此，正确答案是 B。

Let V=(0,0),V = (0, 0), focus F=(0,f),F = (0, f), and directrix y=−f,y = -f, where f=FV.f = FV. A point A=(x,y)A = (x, y) on the parabola satisfies x2=4fyx^2 = 4fy and AF=y+f=20,AF = y + f = 20, so y=20−f.y = 20 - f. Also AV2=x2+y2=4fy+y2AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2 =441.= 441.

Substituting y=20−f:y = 20 - f: 4f(20−f)+(20−f)2=441  ⟹  3f2−40f+41=0. \begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned} By Vieta’s formulas, the sum of the two possible values of ff is 403.\dfrac{40}{3}.

Thus, the correct answer is B.

第 19 题#19
完整试卷
第 21 题#21

其他年份的第 20 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B