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2013 AMC 12B 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

当 135∘<x<180∘135^\circ \lt x \lt 180^\circ 时，点 P=(cos⁡x,cos⁡2x)P = (\cos x, \cos^2 x)、Q=(cot⁡x,cot⁡2x)Q = (\cot x, \cot^2 x)、R=(sin⁡x,sin⁡2x)R = (\sin x, \sin^2 x)、S=(tan⁡x,tan⁡2x)S = (\tan x, \tan^2 x) 是一个梯形的四个顶点。求 sin⁡(2x)\sin(2x)。

For 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, points P=(cos⁡x,cos⁡2x),P = (\cos x, \cos^2 x), Q=(cot⁡x,cot⁡2x),Q = (\cot x, \cot^2 x), R=(sin⁡x,sin⁡2x),R = (\sin x, \sin^2 x), and S=(tan⁡x,tan⁡2x)S = (\tan x, \tan^2 x) are the vertices of a trapezoid. What is sin⁡(2x)?\sin(2x)?

2−222 - 2\sqrt2

33−63\sqrt3 - 6

32−53\sqrt2 - 5

−34-\dfrac{3}{4}

1−31 - \sqrt3

答案：A
知识点：抛物线三角恒等式梯形
难度评级：2270
小提示：

四个点都在抛物线 y=t2y = t^2 上；连接参数为 t1t_1 和 t2t_2 的两点所得弦的斜率为 t1+t2t_1 + t_2。

All four points lie on the parabola y=t2;y = t^2; the slope of the chord joining parameters t1t_1 and t2t_2 is t1+t2t_1 + t_2

大提示：

在这个范围内，平行边必须是 QRQR 与 PSPS，所以 cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x\cot x + \sin x = \tan x + \cos x。

On this range the parallel sides must be QRQR and PS,PS, so cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x\cot x + \sin x = \tan x + \cos x

解答：

每个点 (t,t2)(t, t^2) 都在 y=t2y = t^2 上，而连接参数为 t1,t2t_1, t_2 的两点所得弦的斜率为 t1+t2t_1 + t_2。当 135∘<x<180∘135^\circ \lt x \lt 180^\circ 时，cos⁡x\cos x 和 tan⁡x\tan x 都介于 cot⁡x\cot x 与 sin⁡x\sin x 之间，所以 PP、SS 位于 QQ、RR 之间，平行边为 QRQR 和 PSPS。由斜率相等可得 cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x\cot x + \sin x = \tan x + \cos x。两边乘以 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x 并化简，得 cos⁡x+sin⁡x−sin⁡xcos⁡x=0\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0。两边平方，再利用 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x，可得 1+sin⁡2x=14sin⁡22x1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x。它在 (−1,1)(-1, 1) 中唯一的根为 sin⁡2x=2−22\sin 2x = 2 - 2\sqrt2。所以正确答案是 A。

Each point (t,t2)(t, t^2) lies on y=t2,y = t^2, and the chord through parameters t1,t2t_1, t_2 has slope t1+t2.t_1 + t_2. For 135∘<x<180∘,135^\circ \lt x \lt 180^\circ, both cos⁡x\cos x and tan⁡x\tan x lie between cot⁡x\cot x and sin⁡x,\sin x, so PP and SS sit between QQ and RR and the parallel sides are QRQR and PS.PS. Equal slopes give cot⁡x+sin⁡x=tan⁡x+cos⁡x.\cot x + \sin x = \tan x + \cos x. Multiplying by sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x and simplifying yields cos⁡x+sin⁡x−sin⁡xcos⁡x=0.\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0. Squaring and using 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x gives 1+sin⁡2x=14sin⁡22x,1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x, whose only root in (−1,1)(-1, 1) is sin⁡2x=2−22.\sin 2x = 2 - 2\sqrt2. Thus, the correct answer is A.

第 19 题#19
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第 21 题#21

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