Question

若正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a(b+c)=152$ 、 $b(c+a)=162$ 、且 $c(a+b)=170$ ，则 $abc$ 等于多少？

If $a,$ $b,$ and $c$ are positive real numbers such that $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ and $c(a+b)=170,$ then $abc$ is

$672$

$688$

$704$

$720$

$750$

答案：D

知识点：方程组对称性（代数）

难度评级：1540

小提示：

把三个方程相加，得到 $ab+bc+ca$ 。

Add all three equations to get $ab+bc+ca$

大提示：

用这个总和分别减去原来的三个方程，求出 $ab$ ， $bc$ ， $ca$ ，再相乘并开平方。

Subtract each original equation from that total to find $ab,$ $bc,$ $ca,$ then multiply and take a square root

解答：

三个方程相加得 $2(ab+bc+ca)=484$ ，所以 $ab+bc+ca=242$ 。用它分别减去原来的三个方程，得到 $bc=90$ 、 $ca=80$ 、 $ab=72$ 。

相乘得 $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2$ 。又因 $abc\gt0$ ，所以 $abc=720$ 。

所以正确答案是 D。

Adding the three equations gives $2(ab+bc+ca)=484,$ so $ab+bc+ca=242.$ Subtracting each original equation from this yields $bc=90,$ $ca=80,$ and $ab=72.$

Multiplying, $(abc)^2=90\cdot80\cdot72=720^2,$ and since $abc\gt0,$ we get $abc=720.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12B 第 19 题

答案：D

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题