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2024 AMC 12A 第 19 题

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19.

圆内接四边形 ABCDABCD 满足 BC=CD=3BC=CD=3，DA=5DA=5，且 ∠CDA=120∘\angle CDA=120^\circ。ABCDABCD 中较短的对角线长度是多少？
Cyclic quadrilateral ABCDABCD has lengths BC=CD=3BC=CD=3 and DA=5DA=5 with ∠CDA=120∘.\angle CDA=120^\circ. What is the length of the shorter diagonal of ABCD?ABCD?
317\dfrac{31}{7}
337\dfrac{33}{7}
55
397\dfrac{39}{7}
417\dfrac{41}{7}
答案：D
知识点：圆内接四边形余弦定理托勒密定理
难度评级：1930
小提示：
在 △ACD\triangle ACD 中，AC2=32+52AC^2=3^2+5^2 −2⋅3⋅5cos⁡120∘-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ。
In △ACD,\triangle ACD, AC2=32+52AC^2=3^2+5^2 −2⋅3⋅5cos⁡120∘-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ
大提示：
利用 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ，求 ABAB，再用托勒密定理：AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA。
Find ABAB using ∠ABC=60∘,\angle ABC=60^\circ, then apply Ptolemy: AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA
解答：
在 △ACD\triangle ACD 中，由余弦定理得 AC2=9+25−2(15)cos⁡120∘AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ =34+15=49=34+15=49，所以 AC=7AC=7。
因为 ABCDABCD 是圆内接四边形，∠ABC=180∘−120∘=60∘\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ。在 BC=3BC=3、AC=7AC=7 的 △ABC\triangle ABC 中，由余弦定理得 49=AB2+9−3AB49=AB^2+9-3AB，所以 AB=8AB=8。由托勒密定理，AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA =8⋅3+3⋅5=39=8\cdot3+3\cdot5=39，所以 BD=397BD=\tfrac{39}{7}。这比 AC=7AC=7 短。
因此正确答案是 D。
In △ACD,\triangle ACD, the law of cosines gives AC2=9+25−2(15)cos⁡120∘AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ =34+15=49,=34+15=49, so AC=7.AC=7.
Since ABCDABCD is cyclic, ∠ABC=180∘−120∘=60∘.\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ. In △ABC\triangle ABC with BC=3BC=3 and AC=7,AC=7, the law of cosines gives 49=AB2+9−3AB,49=AB^2+9-3AB, so AB=8.AB=8. By Ptolemy, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA =8⋅3+3⋅5=39,=8\cdot3+3\cdot5=39, hence BD=397.BD=\tfrac{39}{7}. This is shorter than AC=7.AC=7.
Thus, the correct answer is D.
第 18 题#18
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第 20 题#20

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