Question

圆内接四边形 $ABCD$ 满足 $BC=CD=3$ ， $DA=5$ ，且 $\angle CDA=120^\circ$ 。 $ABCD$ 中较短的对角线长度是多少？

Cyclic quadrilateral $ABCD$ has lengths $BC=CD=3$ and $DA=5$ with $\angle CDA=120^\circ.$ What is the length of the shorter diagonal of $ABCD?$

$\dfrac{31}{7}$

$\dfrac{33}{7}$

$5$

$\dfrac{39}{7}$

$\dfrac{41}{7}$

答案：D

知识点：圆内接四边形余弦定理托勒密定理

难度评级：1930

小提示：

在 $\triangle ACD$ 中， $AC^2=3^2+5^2$ $-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ$ 。

In $\triangle ACD,$ $AC^2=3^2+5^2$ $-2\cdot3\cdot5\cos120^\circ$

大提示：

利用 $\angle ABC=60^\circ$ ，求 $AB$ ，再用托勒密定理： $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ 。

Find $AB$ using $\angle ABC=60^\circ,$ then apply Ptolemy: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

解答：

在 $\triangle ACD$ 中，由余弦定理得 $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49$ ，所以 $AC=7$ 。

因为 $ABCD$ 是圆内接四边形， $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ 。在 $BC=3$ 、 $AC=7$ 的 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理得 $49=AB^2+9-3AB$ ，所以 $AB=8$ 。由托勒密定理， $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39$ ，所以 $BD=\tfrac{39}{7}$ 。这比 $AC=7$ 短。

因此正确答案是 D。

In $\triangle ACD,$ the law of cosines gives $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49,$ so $AC=7.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$ In $\triangle ABC$ with $BC=3$ and $AC=7,$ the law of cosines gives $49=AB^2+9-3AB,$ so $AB=8.$ By Ptolemy, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39,$ hence $BD=\tfrac{39}{7}.$ This is shorter than $AC=7.$

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题