Question

角 $B$ 是三角形 $ABC$ 的一个内角，并被 $BD$ 与 $BE$ 三等分；这两条线分别与 $AC$ 相交于 $D$ 和 $E$ 。则：

Angle $B$ of triangle $ABC$ is trisected by $BD$ and $BE,$ which meet $AC$ at $D$ and $E,$ respectively. Then:

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE}{DC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{BD}{BE}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}$

$\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE\cdot BD}{DC\cdot BE}$

答案：D

知识点：面积比导角

难度评级：2060

小提示：

用两种不同的方法比较三角形 $ABD$ 与 $EBC$ 的面积

Compare the areas of triangles $ABD$ and $EBC$ in two different ways

大提示：

它们的底边都在 $AC$ 上，且在 $B$ 点的夹角是相等的三等分角

They have bases on $AC$ , and their included angles at $B$ are equal trisection angles

解答：

三角形 $ABD$ 与 $EBC$ 的底边 $AD$ 和 $EC$ 位于同一直线 $AC$ 上，所以从 $B$ 到该直线的公共高给出 $\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}\text{。}$ 又有 $\angle ABD=\angle EBC$ ，因为两者都是角 $B$ 的三分之一。再用两边及其夹角表示同一个面积比，得到 $\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Triangles $ABD$ and $EBC$ have bases $AD$ and $EC$ on the same line $AC,$ so their common altitude from $B$ gives $\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}.$ Also, $\angle ABD=\angle EBC$ because both are one-third of angle $B.$ Using two sides and the included angle for the same area ratio gives $\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}.$

Thus, the correct answer is D.

1952 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题