Question

三角形 $ABC$ 和 $ADE$ 的面积分别为 $2007$ 和 $7002$ ，其中 $B=(0,0)$ 、 $C=(223,0)$ 、 $D=(680,380)$ ，且 $E=(689,389)$ 。点 $A$ 所有可能的 $x$ 坐标之和是多少？

Triangles $ABC$ and $ADE$ have areas $2007$ and $7002,$ respectively, with $B=(0,0),$ $C=(223,0),$ $D=(680,380),$ and $E=(689,389).$ What is the sum of all possible $x$ -coordinates of $A?$

$282$

$300$

$600$

$900$

$1200$

答案：E

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1840

小提示：

$\triangle ABC$ 的面积确定了从 $A$ 到 $BC$ 的高，所以 $A$ 在 $y=18$ 或 $y=-18$ 上。

The area of $\triangle ABC$ fixes the altitude from $A$ to $BC,$ so $A$ lies on $y=18$ or $y=-18$

大提示：

同理， $A$ 在两条与 $DE$ 平行的直线之一上；四个交点的平均位置是一个平行四边形的中心。

Likewise $A$ lies on one of two lines parallel to $DE$ ; the four intersection points average to the center of a parallelogram

解答：

$\triangle ABC$ 中从 $A$ 出发的高 $h$ 满足 $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h$ ，所以 $h=18$ 。因此 $A$ 在 $y=18$ 或 $y=-18$ 上。

直线 $DE$ 的方程为 $x-y-300=0$ 。 $\triangle ADE$ 的面积条件同样把 $A$ 限制在两条与 $DE$ 平行的直线之一上。

$A$ 的四个可能位置是一个平行四边形的顶点，其中心是 $y=0$ 与直线 $DE$ 的交点，即 $(300,0)$ 。因此四个 $x$ 坐标之和为 $4\cdot 300=1200$ 。

因此，正确答案是 E。

The altitude $h$ from $A$ in $\triangle ABC$ satisfies $2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,$ so $h=18.$ Thus $A$ lies on $y=18$ or $y=-18.$

Line $DE$ has equation $x-y-300=0.$ The condition on $\triangle ADE$ similarly places $A$ on one of two lines parallel to $DE.$

The four possible positions of $A$ are the vertices of a parallelogram whose center is the intersection of $y=0$ with line $DE,$ namely $(300,0).$ Hence the sum of the four $x$ -coordinates is $4\cdot 300=1200.$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12A 第 19 题

答案：E

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题