Question

如图，圆心为 $O$ 的圆与两条坐标轴以及 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形 $ABC$ 的斜边都相切，其中 $AB=1$ 。将结果精确到百分位，圆的半径是多少？

A circle with center $O$ is tangent to the coordinate axes and to the hypotenuse of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle $ABC$ as shown, where $AB=1.$ To the nearest hundredth, what is the radius of the circle?

$2.18$

$2.24$

$2.31$

$2.37$

$2.41$

答案：D

知识点：相切圆 right triangles

难度评级：2120

小提示：

若圆的半径为 $r$ ，则在图示坐标系中 $O=(r,r)$

If the circle radius is $r$ , then $O=(r,r)$ in the displayed coordinates

大提示：

写出这个 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形斜边所在直线的方程，并令圆心 $O$ 到该直线的距离等于 $r$

Write the hypotenuse line of the $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle and set its distance from $O$ equal to $r$

解答：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $C=(0,\sqrt3)$ 。斜边所在直线的方程为 $\sqrt3x+y=\sqrt3$ ，圆心为 $O=(r,r)$ 。由相切可得 $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r\text{。}$ 对于图中三角形外部的圆，有 $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r$ ，所以 $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37$ 。因此正确答案是 D。

Take $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ and $C=(0,\sqrt3).$ The hypotenuse is $\sqrt3x+y=\sqrt3,$ and the circle center is $O=(r,r).$ Tangency gives $\frac{\left|(\sqrt3+1)r-\sqrt3\right|}{2}=r.$ The pictured external circle has $(\sqrt3+1)r-\sqrt3=2r,$ so $r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$ $=\frac{3+\sqrt3}{2}\approx2.37.$ Thus D is correct.

1997 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题