1988 AMC 12 第 19 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1988 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

化简 $\frac{\begin{gathered} bx(a^2x^2+2a^2y^2+b^2y^2)\\ {}+ay(a^2x^2+2b^2x^2+b^2y^2) \end{gathered}}{bx+ay}\text{。}$

Simplify $\frac{\begin{gathered} bx(a^2x^2+2a^2y^2+b^2y^2)\\ {}+ay(a^2x^2+2b^2x^2+b^2y^2) \end{gathered}}{bx+ay}.$

$a^2x^2+b^2y^2$

$(ax+by)^2$

$(ax+by)(bx+ay)$

$2(a^2x^2+b^2y^2)$

$(bx+ay)^2$

答案：B

知识点：因式分解 polynomial identities algebraic simplification

难度评级：1660

小提示：

把 $2a^2y^2$ 项与 $2b^2x^2$ 项分别拆开

Separate the $2a^2y^2$ and $2b^2x^2$ terms

大提示：

先尝试从分子中提出 $bx+ay$

Try to factor the numerator first by $bx+ay$

解答：

重新组合分子得 $\begin{aligned} &(bx+ay)(a^2x^2+b^2y^2)\\ &\quad+2abxy(ay+bx)\\ &=(bx+ay)(ax+by)^2 \end{aligned}\text{。}$ 除以 $bx+ay$ ，得到 $(ax+by)^2$ 。

所以正确答案是 B。

Regrouping the numerator gives $\begin{aligned} &(bx+ay)(a^2x^2+b^2y^2)\\ &\quad+2abxy(ay+bx)\\ &=(bx+ay)(ax+by)^2. \end{aligned}$ Dividing by $bx+ay$ yields $(ax+by)^2.$

Thus the correct answer is B.

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