数列 \begingathered 1, (1+2), (1+2+2^2),\ …, (1+2+2^2+\cdots+2^n-1) \endgathered 的前 n 项之和用 n 表示为：

1972 AMC 12 第 19 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1972 AMC 12 第 19 题

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19.

数列 $\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}$ 的前 $n$ 项之和用 $n$ 表示为：

The sum of the first $n$ terms of the sequence $\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}$ in terms of $n$ is:

$2^n$

$2^n-n$

$2^{n+1}-n$

$2^{n+1}-n-2$

$n\cdot2^n$

答案：D

知识点：等比数列求和代数变形

难度评级：1790

小提示：

第 $k$ 个括号内的和为 $2^k-1$

The $k$ -th parenthesized sum is $2^k-1$

大提示：

求 $2^1-1$ 、 $2^2-1$ 、 $\ldots$ 和 $2^n-1$ 的和

Sum $2^1-1,$ $2^2-1,$ $\ldots,$ and $2^n-1$

解答：

第 $k$ 项是等比数列之和 $2^k-1$ 。因此所求总和为 $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The $k$ -th term is the geometric sum $2^k-1.$ Therefore the desired total is $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

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