Question

有多少个正整数有序对 $(m,n)$ 满足 $\frac4m+\frac2n=1\text{？}$

How many ordered pairs $(m,n)$ of positive integers are solutions to $\frac4m+\frac2n=1?$

$1$

$2$

$3$

$4$

多于 $4$ 个

more than $4$

答案：D

知识点：Diophantine equation 因式分解 divisors

难度评级：1690

小提示：

消去分母，并配成含 $m-4$ 和 $n-2$ 的乘积。

Clear denominators and complete a product involving $m-4$ and $n-2$

大提示：

原方程等价于 $(m-4)(n-2)=8$ 。

The equation is equivalent to $(m-4)(n-2)=8$

解答：

消去分母并整理，得到 $\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8 \end{aligned}\text{。}$ 两个因数都必须为正。 $8$ 的四个有序正因数对给出 $\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3) \end{aligned}\text{。}$ 因此正确答案是 D。

Clearing denominators and rearranging gives $\begin{aligned} mn-4n-2m=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad\\ (m-4)(n-2)=8. \end{aligned}$ Both factors must be positive. The four ordered positive factor pairs of $8$ give $\begin{aligned} (m,n)={}&(5,10),(6,6),\\ &(8,4),(12,3). \end{aligned}$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题