Question

哪些正数 $x$ 满足方程 $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35$ ？

Which positive numbers $x$ satisfy the equation $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?$

只有 $3$ 和 $5$

$3$ and $5$ only

只有 $3$ 、 $5$ 和 $15$

$3,$ $5$ and $15$ only

只有形如 $5^n\cdot3^m$ 的数，其中 $n$ 和 $m$ 为正整数

only numbers of the form $5^n\cdot3^m,$ where $n$ and $m$ are positive integers

所有满足 $x\ne1$ 的正数

all positive $x\ne1$

以上都不对

none of these

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1450

小提示：

对左边的两个对数都使用换底公式

Apply the change-of-base formula to both logarithms on the left

大提示：

约分后，别忘了哪一个正数不能作为对数的底

After cancellation, remember which positive base is forbidden

解答：

当 $x\gt0,\ x\ne1$ 时，换底公式将左边化为 $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}\text{。}$ 约去 $\log x$ 后得到 $\frac{\log5}{\log3}=\log_35$ 。当 $x=1$ 时原式无定义。

因此，正确答案是 D。

For $x\gt0,\ x\ne1,$ change of base makes the left side $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.$ Canceling $\log x$ leaves $\frac{\log5}{\log3}=\log_35.$ The expression is undefined at $x=1.$

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题