Question

对正数 $n$ 与 $a$ ，定义 $n_a!$ 为 $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka) \end{aligned}\text{，}$ 其中 $k$ 是满足 $n\gt ka$ 的最大整数。则商 $\frac{72_8!}{18_2!}$ 等于

Define $n_a!$ for positive $n$ and $a$ to be $\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}$ where $k$ is the greatest integer for which $n\gt ka.$ Then the quotient $\frac{72_8!}{18_2!}$ is equal to

$4^5$

$4^6$

$4^8$

$4^9$

$4^{12}$

答案：D

知识点：自定义运算阶乘指数

难度评级：1530

小提示：

将两个广义阶乘都写成九个明确的因子

Write both generalized factorials as nine explicit factors

大提示：

从分子的每个因子中提出 $8$ ，从分母的每个因子中提出 $2$

Factor $8$ from every numerator term and $2$ from every denominator term

解答：

两个乘积为 $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!) \end{aligned}\text{。}$ 因此它们的商为 $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9\text{。}$

所以正确答案是 D。

The two products are $\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}$ Their quotient is therefore $\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.$

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题