Question

考虑所有满足下列条件的三角形 $ABC$ ： $AB = AC$ ，点 $D$ 在线段 $\overline{AC}$ 上，且 $\overline{BD} \perp \overline{AC}$ ， $AD$ 与 $CD$ 均为整数，且 $BD^2 = 57$ 。在所有这样的三角形中， $AC$ 的最小可能值是

Consider all triangles $ABC$ satisfying the following conditions: $AB = AC,$ $D$ is a point on $\overline{AC}$ for which $\overline{BD} \perp \overline{AC},$ $AD$ and $CD$ are integers, and $BD^2 = 57.$ Among all such triangles, the smallest possible value of $AC$ is

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

答案：C

知识点：等腰三角形勾股定理丢番图方程

难度评级：1810

小提示：

直角三角形 $ADB$ 给出 $AB^2 = AD^2 + BD^2$ 。

Right triangle $ADB$ gives $AB^2 = AD^2 + BD^2$

大提示：

用 $AB = AC = AD + CD$ ，化简为 $CD(CD + 2\,AD) = 57$ 。

With $AB = AC = AD + CD,$ reduce to $CD(CD + 2\,AD) = 57$

解答：

设 $AD = n$ ， $CD = m$ 。因为 $\triangle ADB$ 在 $D$ 处为直角， $AB^2 = n^2 + 57$ 。又 $AB = AC = m + n$ ，所以 $(m + n)^2 = n^2 + 57\text{，}$ 化简为 $m(m + 2n) = 57$ 。

正整数解为 $m = 1, n = 28$ ，此时 $AC = 29$ ；以及 $m = 3, n = 8$ ，此时 $AC = 11$ 。因此 $AC$ 的最小可能值为 $11$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AD = n$ and $CD = m.$ Since $\triangle ADB$ is right-angled at $D,$ $AB^2 = n^2 + 57.$ Also $AB = AC = m + n,$ so $(m + n)^2 = n^2 + 57,$ which simplifies to $m(m + 2n) = 57.$

The positive integer solutions are $m = 1, n = 28$ (giving $AC = 29$ ) and $m = 3, n = 8$ (giving $AC = 11$ ). The smallest possible value of $AC$ is $11.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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