Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 、 $AC = 15$ 。设 $D$ 为 $\overline{BC}$ 的中点， $E$ 为角 $BAC$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 的交点。下列哪一个数最接近三角形 $ADE$ 的面积？

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $AC = 15.$ Let $D$ denote the midpoint of $\overline{BC}$ and let $E$ denote the intersection of $\overline{BC}$ with the bisector of angle $BAC.$ Which of the following is closest to the area of triangle $ADE?$

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

答案：C

知识点：海伦公式角平分线定理三角形面积

难度评级：1810

小提示：

由海伦公式， $\triangle ABC$ 的面积为 $84$ ，所以从 $A$ 到 $BC$ 的高为 $12$ 。

By Heron’s formula the area of $\triangle ABC$ is $84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $12$

大提示：

$D$ 距 $B$ 的距离为 $7$ ；角平分线交点 $E$ 满足 $BE : EC = 13 : 15$ 。

$D$ is at distance $7$ from $B$ ; the bisector foot $E$ satisfies $BE : EC = 13 : 15$

解答：

由海伦公式， $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ ，所以从 $A$ 到 $BC$ 的高为 $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$ 。

中点 $D$ 到 $B$ 的距离为 $7$ 。从 $A$ 作出的角平分线与 $BC$ 相交于 $E$ ，且 $BE : EC = AB : AC = 13 : 15$ ，所以 $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5$ 。

$D$ 和 $E$ 都在 $BC$ 上，所以 $\triangle ADE$ 的底为 $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ ，高为 $12$ ，面积为 $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3\text{。}$

因此，正确答案是 C。

By Heron’s formula, the area of $\triangle ABC$ is $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The midpoint $D$ is $7$ from $B.$ The bisector from $A$ meets $BC$ at $E$ with $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ so $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.$

Both $D$ and $E$ lie on $BC,$ so $\triangle ADE$ has base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ and altitude $12,$ giving area $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题